Pendefinisian “koset” sangat berkaitan dengan materi “Subgrup Normal dan Grup Faktor”. Definisi koset muncul dalam proses pembentukan Grup Faktor dengan bermodalkan suatu grup dan suatu subgrupnya.
Koset
Suatu jenis kompleks dari suatu grup disebut koset dari suatu
subgrup dalam grupnya.
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita
definisikan Koset kanan (kiri) dari H.
Definisi 1
Misalkan H suatu subgrup dari grup G dan
a suatu elemen dari G, maka:
- Ha = {ha |
h ∈
H} disebut koset kanan dari H dalam G.
- aH = {ah |
h ∈
H} disebut koset kiri dari H dalam G.
Karena H suatu subgrup dari G, maka e 系 H (e elemen identitas),
sehingga He = {he | h ∈ H} dan eH = {eh | h 系 H} = H. Ini berarti H merupakan suatu
koset kanan atau koset kiri dari H. Demikian pula, karena e 系 H, maka ea 系 Ha
yaitu a 系 Ha dan ae 系 aH, yaitu a 系 aH. Ini berarti aH maupun Ha memuat
sekurang-kurangnya satu elemen. Dengan kata lain, tak ada koset kiri atau koset
kanan yang merupakan himpunan kosong. Apabila G suatu grup abelian, maka mudah
dimengerti bahwa setiap koset kiri dari suatu subgrup merupakan koset kanan
dari subgrup itu.
Contoh 1
carilah semua koset dari 4Z ≤ 2Z
di mana Z = {... , -2, -1, 0, 1, 2, ...}
maka 2Z = {... , -4, -2, 0, 2, 4, ... } dan 4Z ={... , -8, -4, 0, 4, 8, ...}
karena yang akan dicari adalah 4Z ≤ 2Z maka yang akan jadi grup adalah 2Z dan
untuk pencarian koset yang digunakan adalah elemen dari 2Z yaitu {... , -4 ,-2,
0, 2, 4, ...}.
4Z + 0 = {... , -8, -4, 0, 4, 8, ...}
4Z + 2 = {... , -6, -2, 2, 6, 10, ...}
4Z + 4 = {... , -4, 0, 4, 8, ...}
0 + 4Z = {... , -8, -4, 0, 4, 8, ...}
2 + 4Z = {... , -6, -2, 2, 6, 10, ...}
4 + 4Z = {... , -4, 0, 4, 8, ...}
Jadi kosetnya adalah 4Z + 0, 4Z + 2,
0 + 4Z, 2 + 4Z. Hal ini terjadi karena pada koset 0 + 4Z dan 4 + 4Z terjadi pengulangan
sehingga dapat dianggap sama, begitu juga pada koset kirinya.
Contoh 2
Andaikan subgrup K = {(1),(1,2)} dari G = S3 = {(1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}. Untuk a = (1, 2, 3) diperoleh
aK = {(1, 2, 3) (1), (1, 2, 3) (1, 2)}
= {(1,2,3),(1,3)}
dan
Ka = {(1,2,3),(1,2)(1,2,3)}
= {(1,2,3),(2,3)}
Dalam kasus ini aK ≠ Ka.
Walaupun koset kiri dari H dan koset kanan dari H mungkin keduannya tidak sama, ini tidak dapat terjadi dengan dua koset kiri dari H. kenyataan ini bersifat dasar untuk pembuktian dari teorema lagrange,jadi kita tunjukkan itu sebagai suatu lemma.
Lemma
Sifat-Sifat dari Koset
Misalkan H adalah subgrup dari G dan misalkan a dan b ∈ G maka
1.
a ∈ aH
Bukti
a = ae ∈ aH
2.
aH = H jika dan hanya jika
a ∈ H
Bukti
Andaikan bahwa aH = H. Maka a =
ae ∈ aH. Berikutnya,
kita asumsikan bahwa a ∈
H dan tunjukkan bahwa aH ⊂
H dan H ⊂ aH. Pertama secara
langsung sertakan sifat tertutup dari H. Untuk menunjukkan bahwa H ⊂ aH, misalkan h ∈ H. Maka, oleh karena a ∈ H dan h ∈ H kita mengetahui bahwa a¯¹h
∈ H. Maka, h = eh = (aa¯¹)h
= a(a¯¹h)
∈ aH
3.
aH = bH jika dan hanya jika
a ∈ bH
Bukti
Jika aH = bH, maka a = ae ∈ eH = bH. Sebaliknya, jika a
∈ bH kita miliki a = bh
dimana h ∈ H, oleh
karena itu, aH = (bh)H = b (hH) = bH
4.
aH = bH atau aH ∩
bH = 脴
Bukti
Sifat 4 secara langsung dari
sifat 3, jika ada suatu elemen c ∈
aH ∩
bH maka cH = aH dan cH = bH
5.
aH = bH jika dan hanya jika
a¯¹b
∈ H
Bukti
Amati bahwa aH = bH jika dan
hanya jika H = a¯¹bH. Hasil sekarangmengikuti sifat kedua
6.
aH = Ha jika dan hanya jika
H = aHa¯¹
Bukti
Catatan bahwa aH = Ha jika dan
hanya jika(aH)a¯¹ = (Ha)a¯¹ = H artinya jika dan hanya jika aHa¯¹
= H
7.
aH adalah subgrup dari G
jika dan hanya jika a ∈
H
Bukti
Jika aH adalah subgrup, maka itu
berisi identitas e. Maka aH ∩
eH ≠
脴,
maka dengan sifat 4, kita memiliki aH = eH = H. Maka dari sifat 2 kita miliki a
∈ H maka dengan sifat 2
lagi aH = H.
Lemma 1 Partisi Koset Kiri
Misalkan H suatu subgrup dari
grup G. Perbedaan koset kiri dari H
dalam G bentuk suatu partisi dari G; maka elemennya terpisah dari G ke subset
yang saling disjoint.
Bukti
Itu cukup untuk menunjukkan bahwa
dua koset kiri dari H sehingga tidak disjoint seharusnya koset kiri sama.
Andaikan aH dan bH memiliki satu
elemen terkecil , z ∈
aH ∩
bH. Maka z = ah₁ untuk h₁ ∈
H, dan z = bh₂ untuk h₂ ∈
H.hal ini berarti bahwa ah₁ = bh₂ dan a = bh₂h₁¯¹ ∈ H. Sekarang untuk setiap h ∈ H
Ah = bh3h = bh4
Dimana h4 = h3.
Maka aH ∈ bH untuk
semua h ∈ H. Pembuktian
ini bahwa aH ⊂ bH. Begitu
pun suatu argumen ditunjukkan bahwa bH ⊂
aH, maka aH = bH.
Definisi 2
Misalkan H adalah subgrup dari G.
Maka banyaknya koset kiri yang berbeda dari H dalam G disebut indeks dari H
dalam G dan dinyatakan dengan [G : H].
Dalam pembuktian dalam teorema
berikutnya, kita menunjukkan bahwa jika o(G) adalah hingga, maka order dari
sebarang grup dari G merupakan pembagi order dari grup G.
Teorema Lagrange
Apabila H subgrup dari grup
berhingga G, maka ◦ (H)|◦ (G).
Bukti :
Karena H subgrup dari grup
berhingga G, maka H suatu himpunan berhingga pula, karena G berhingga, maka
banyaknya koset kanan dari H berhingga pula, misalkan k,katakan koset
kanan-koset kanan dari H tersebut adalah Ha1, Ha2, Ha3,...Hak.
Koset kanan – koset kanan ini
membentuk partisi dalam G, yaitu G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ ...∪
Hak dan Hai ∩ Haj = 蔷
untuk i ≠ j.
Misal ◦ (H) = n dan telah
dibuktikan di atas bahwa Hai ∼ Haj , maka ∀i =
1,2,...,k, ◦ (Hai) = n.Sehingga ◦ (G) = kn atau ◦ (G) = k ◦ (H) .
Jadi ◦ (H)|◦ (G).
Mohon diinformasikan melalui kolom komentar bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun atau kesalahan dalam pembahasan materi diatas. Terimakasih❤
