GRUP : Definisi, Sifat, dan Contoh

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. 

Dalam artikel ini saya akan membahas mengenai definisi, sifat serta contoh dari grup. Invers, assosiatif, dan elemen identitas. Ketiga sifat tersebut merupakan syarat dari suatu himpunan, yang bersama-sama dengan operasi biner * membentuk sebuah grup. Baiklah langsung saja, berikut definisi, sifat dan contoh dari grup.

Pengertian Grup

Misalkan G ≠ Ø dan ∘ adalah operasi biner pada G, maka G dikatakan grup [ditulis (G, ∘)], jika sifat-sifat operasi biner berlaku pada G yakni (1) bersifat tertutup, (2) bersifat asosiatif, (3) bersifat komutatif, (4) memiliki elemen identitas, (5) memiliki invers.

Contoh grup

Bilangan Z, Q, R, dan C merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Elemen netral dari grup tersebut adalah 0, sedangkan invers dari a adalah –a.

Contoh bukan grup

R bukan merupakan grup terhadap operasi perkalian, karena 0 ∈ R tidak memiliki invers.

Definisi 1

1.  Operasi  biner ∘ pada S adalah  jika untuk setiap a, b  ϵ S berlaku a ° b  ϵ S, atau     sering dikatakan Operasi ° pada S bersifat tertutup.

2.    Jika Operasi  ° pada S tertutup maka (S, °)  disebut  Grupoid  yaitu struktur aljabar dengan satu operasi yang tertutup (biner).

3.     Operasi biner ° pada S dikatakan assosiatif jika untuk setiap a, b, c ϵ S,  (a ° b) ° c = a ° (b ° c).

4.     Grupoid (S, °) disebut semigrup jika Operasi biner ° pada S assosiatif

5.     Himpunan S terhadap operasi ° dikatakan mempunyai elemen identitas e jika untuk setiap e ϵ S, untuk setiap a ϵ S,  a ϵ e = e ° a = a

6.     Semigrup (S, °) disebut monoid jika S terhadap ° mempunyai elemen identitas e.

7.     Himpunan S terhadap operasi dikatakan komutatif jika untuk setiap a, b ϵ S,  a ° b = b ° a

Definisi 2

Misalkan  G adalah himpunan  tidak kosong dilengkapi  dengan  operasi maka struktur aljabar  (G, ∙) disebut Grup jika dipenuhi aksioma-aksioma berikut :

a.     Tertutup, artinya untuk setiap a, b ϵ G berlaku a. b ϵ G

b.     Asosiatif, artinya untuk setiap a, b, c ϵ G berlaku (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

c.      Mempunyai elemen identitas ditulis e, artinya (untuk setiap a ϵ G) a ∙ e = e ∙ a = a

d.     Setiap elemen mempunyai invers dinotasikan a^-1 adalah invers dari a, artinya (untuk setiap a ϵ G) dan (untuk setiap a^-1 ϵ G) sehingga a^-1 ∙ a = a ∙ a^-1 = e

Sifat-sifat Grup

Dalam sembarang grup, berlaku sifat-sifat sebagai berikut

1.     Hukum kanselasi kiri : Jika a ∙ x = a ∙ y maka x = y.

2.     Hukum kanselasi kanan : Jika x ∙ a = y ∙ a maka x = y.

3.     Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e′ elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e′.

4.     Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b.

5.      (ab)^-1 = b^-1a^-1

 

Bukti :

1.     Diberikan ax = ay. Karena G grup dan a ∈ G maka terdapat a^-1 sehingga a a^-1 = a^-1 a = e dengan e identitas. Akibatnya a^-1 (ax) = a^-1 (ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif diperoleh (a^-1 a)x =  (a^-1 a)y dan dengan hukum invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan hukum identitas x = y

2.     Analog dengan 1 (untuk latihan).

3.     Karena e suatu anggota identitas maka e  e′ = e′. Pada sisi lain e e′ = e, sehingga e e′ = e′ = e.

4.     Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b.

5.      Karena (ab) . (b^-1 a^-1) = a (bb^-1) a^-1 = a ∙ e ∙ a^-1 = a ∙ a^-1 = e dan (b^-1a^-1) ^. (ab) = b^-1(a^-1a)b = b^-1 ∙ e ∙ b = b^-1 ∙ b = e maka (ab)^-1 = ba.

 

 SEMOGA BERMANFAAT☺☺☺