GRUP DALAM STRUKTUR ALJABAR

Pada artikel sebelumnya, telah dijelaskan mengenai definisi, sifat, serta contoh dari grup. Nah kali ini kita akan memahami lebih dalam mengenai grup pada struktur aljabar. Sebuah himpunan G dengan operator * disebut ‘grup’ jika:
1) tertutup terhadap operasi *,
2) mempunyai unsur identitas (e) dalam G,
3) mempunyai invers (a’) untuk setiap unsur dalam G, dan
4) memenuhi hukum asosiatif.

A. GRUP

Definisi

Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:

1.     Tertutup

2.     Assosiatif

3.     Terdapat unsur identitas e ϵ G

4.     Untuk setiap a ϵ G terdapat a¯¹ ϵ G

Contoh :

Misalkan G = {-1, 1}. Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian biasa (G, x)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan daftar cayley G = {-1,1} terhadap (G, x) sebagai berikut:

1.     Tertutup

G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x karena

-1 x -1 = 1 ϵ G

-1 x 1 = -1 ϵ G

1 x -1 = -1 ϵ G

1 x 1 = 1 ϵ G

2.     Assosiatif

Ambil sembarang nilai G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 ϵ G, maka

• (a x b) x c = (-1 x -1) x 1 = 1 x 1 = 1
• a x (b x c) = -1 x (-1 x 1) = -1 x -1 = 1

sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka G assosiatif.

3.     Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap perkalian

Ambil sembarang nilai dari G

• Misalkan -1 ϵ G sehingga

        -1 x e = e x (-1) = -1

• Misalkan 1 ϵ G sehingga

1 x e = e x 1 = 1

Maka G  mempunyai identitas

4.     Adanya invers

·        Ambil sembarang nilai dari G

Misalkan -1 ϵ G, pilih -1 ϵ G, sehingga:

-1 x (-1) = 1 = e, maka (-1)¯¹ = 1

·        Ambil sembarang nilai dari G

Misalkan 1 ϵ G, pilih 1 ϵ G, sehingga:

1 x 1 = 1 = e, maka (-1)¯¹ = 1

Maka ada invers untuk setiap anggota G.

 

B.   GRUPOID

Definisi

Suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*) didalamnya, disebut grupoid dan dinyatakan dengan (G, *).

Contoh :

Misalkan G = {x, y, z} dan operasi biner “*” dalam G ditentukan sebagai berikut:

Tabel ini dibaca x * x = x, x * y = y, z * z = x dan seterusnya. (G, *) ini merupakan grupoid, karena operasi * merupakan operasi biner dalam G.

 

C.   SEMIGRUP

Definisi

Suatu grupoid (G, *) disebut semigrup apabila terhadap operasi biner * dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut:

Untuk setiap x, y, z ϵ G berlaku (x * y) * z = x * (y * z)

Contoh :

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a * b = a + b + ab. Tunjukkan bahwa (N, *) adalah semigrup!

Penyelesaian:

1.     Tertutup

Ambil sembarang a, b ϵ N, karena a, b ϵ N maka a * b = a + b + ab ϵ N.

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2.     Assosiatif

Ambil sembarang a, b ϵ N, maka

(a * b) * c    = (a + b + ab) * c

                   = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c

                   = a + b + ab + c + ac + bc + ab + ac + abc

a * (b * c)    = a * (b + c + bc)

                   = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)

                   = a + b + c + bc + ab + ac + abc

Maka untuk setiap a, b, c ϵ N berlaku (a * b) * c = a * (b * c)

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.

 

D.   GRUP ABEL

Definisi

Dalam suatu grup bila berlaku sifat a · b = b · a untuk setiap anggota a, b ϵ G, maka G disebut grup komutatif atau grup abel.

Contoh:

Misalkan G = {-1, 1}. Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian biasa (G, x)

Penyelesaian:

Pada contoh 1 telah terbukti bahwa G = {-1, 1} merupakan grup terhadap perkalian biasa sehingga kita hanya perlu membuktikan sifat komutatifnya saja.

Misalkan a = -1 dan b = 1 maka

a · b = -1 · 1 = -1

b · a = 1 · -1 = -1

Maka untuk setiap a, b ϵ G berlaku a · b = a · b

Jadi, (G, x) merupakan grup komutatif atau grup abel.