SOAL : Grup, Grupoid, Semi Grup, dan Grup Abelian

4 SOAL GRUP, GRUPOID, SEMI GRUP, dan GRUP ABELIAN

Untuk lebih memahami materi grup pada struktur aljabar berikut 4 soal mengenai grup, grupoid, semi grup, dan grup abelian.

1.     Misalkan G = {0, 1}. Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian (G, x)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan daftar cayley G = {0, 1} terhadap (G, x) sebagai berikut:

·        Tertutup

G tertutup terhadap operasi perkalian karena

0 x 0 = 0 ϵ G

0 x 1 = 0 ϵ G

1 x 0 = 0 ϵ G

1 x 1 = 1 ϵ G

·        Assosiatif

Ambil sembarang nilai G, misalkan a = 0, b = 1, c = 1 ϵ G, maka

(a x b) x c = (0 x 1) x 1 = 0

a x (b x c) = 0 x (1 x 1) = 0

sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 0 maka G assosiatif.

·        Adanya elemen identitas

Ambil sembarang nilai dari G

Misalkan 1 ϵ G sehingga 1 x e = e x 1 = 1

Misalkan 0 ϵ G sehingga 0 x e = e x 0 = 0

Maka G mempunyai identitas yaitu {0, 1}

·        Adanya invers

Ambil sembarang nilai dari G

Misalkan 1 ϵ G sehingga

1 x (-1) = -1 = e

-1 x 1 = -1 = e

Misalkan 0 ϵ G sehingga

0 x (-1) = 0 = e

-1 x 0 = 0 = e

Maka ada invers untuk setiap anggota G

 

2.     Operasi penjumlahan pada bilangan bulat merupakan operasi biner, bersama operasi penjumlahan ditulis (Zn, +) merupakan grupoid (Z6, +) adalah grupoid.

Penyelesaian:

Berdasarkan tabel cayley diatas dijelaskan bahwa untuk setiap a, b ϵ Z6. a + b ϵ Z6

 

3.     Misalkan himpunan bilangan bulat Z = {1, 2, 3}. Tunjukkan bahwa (Z, x) merupakan semigrup.

Penyelesaian:

·        Tertutup

a, b ϵ Z → a x b ϵ Z

misalkan a = 1, b = 2 maka

a x b ϵ Z

1 x 2 ϵ Z

2 ϵ Z (Tertutup)

·        Assosiatif

a, b, c ϵ Z → a x (b x c) = (a x b) x c ϵ Z

misalkan a = 1, b = 2, c = 3 maka

a x (b x c) = (a x b) x c ϵ Z

1 x (2 x 3) = (1 x 2) x 3 ϵ Z

1 x 6 = 2 x 3 ϵ Z

6 = 6 ϵ Z

 

4.     Misalkan G = {0, 1}. Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian (G, x)

Penyelesaian:

Pada soal nomor 1 telah terbukti bahwa G merupakan grup terhadap perkalian sehingga sekarang hanya membuktikan sifat komutatifnya.

a x b = 0 x 1 = 0  dan b x a = 1 x 0 = 0

jadi, (G, x) merupakan grup abelian.