GRUP SIKLIK [Struktur Aljabar]

 

Dalam teori grup, grup siklik atau grup monogen adalah grup yang dihasilkan oleh satu elemen. Grup siklik adalah subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri berdasarkan pembengunannya atau generatornya. Sedangkan subgrup siklik adalah suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur dari suatu grup siklik. Generator adalah pembangun suatu grup siklik.

Definisi 1 : Grup Siklik (terhadap penjumlahan)

Grup G (G, +) disebut siklik, bila ada elemen a ϵ G sedemikian sehingga G = {na|n ϵ Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Fadli, 2006 : 55)

 

Contoh

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah subgrup terhadap penjumlahan (G, +). Buktikan bahwa G tersebut adalah grup siklik.

Penyelesaian:

G = {0, 1, 2, 3}

<a>   = {na|n ϵ Z}

<0>   = {n(0)|n ϵ Z}

          = {... , (-1) ∙ 0, 1 ∙ 0, ...}

          = {0}

<1>   = {n(1)|n ϵ Z}

          = {... , (-3) ∙ 1, (-2) ∙ 1, (-1) ∙ 1, 0 ∙ 1, 1 ∙ 1, 2 ∙ 1, 3 ∙ 1, ...}

          = {1, 2, 3, 0}

<2>   = {n(2)|n ϵ Z}

          = {... , (-2) ∙ 2, (-1) ∙ 2, 0 ∙ 2, 1 ∙ 2, 2 ∙ 2, ...}

          = {2, 0}

<3>   = {n(3)|n ϵ Z}

          = {... , (-3) ∙ 3, (-2) ∙ 3, (-1) ∙ 3, 0 ∙ 3, 1 ∙ 3, 2 ∙ 3, 3 ∙ 3 ...}

          = {3, 2, 1, 0}

Karena G = <1> = <3> = {0, 1, 2, 3} dengan kata lain 1 dan 3 adalah generator dari G, maka G = {0, 1, 2, 3} merupakan grup siklik.

 

Definisi 2 : Grup siklik (terhadap perkalian)

Grup G (G, ∙) disebut siklik bila ada elemen a ϵ G sedemikian sehingga G = {aⁿ|n ϵ Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Gallian, 2008 : 72)

Suatu grup G dan suatu unsur g ϵ G, jika grup G dapat dinyatakan sebagai G = {gⁿ|n ϵ Z} maka G dikatakan pembangun dari grup G dan grup G disebut grup siklik, biasanya dinotasikan G = <g>.

(Muchlisah, 2005 : 58)

 

Contoh

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu grup terhadap operasi perkalian (G, ∙) Buktikan bahwa G adalah grup siklik.

Penyelesaian:

G = {-1, 1}

<a> = {aⁿ|n ϵ Z}

<-1> = {... , (-1)¯², (-1)¯¹, (-1)⁰, (-1)¹, (-1)², ...}

          = {-1, 1}

<1>   = {... , 1^-2, 1^-1, 1⁰, 1¹, 1², ...}

          = {1}

Karena G = <-1> = {-1, 1} dengan kata lain -1 adalah generator dari G maka G ={-1, 1} merupakan grup siklik.

 

Teorema 1 (Gallian, 2008 : 77)

Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.

Bukti.

Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G. Akan ditunjukkan bahwa H merupakan grup siklik.

Jika H = {e}, jelas bahwa e = H sehingga H merupakan grup siklik. Jika H ≠ {e}, maka terdapat elemen x ∈ H dengan x ≠ e . Karena H merupakan subgrup dari G, maka x ∈ G dan berakibat x = aⁿ ∈ H untuk suatu n ∈ Z⁺ . Pilih bilangan m ∈ Z⁺ sebagai bilangan yang terkecil sehingga a^m ∈ H.

Akan ditunjukkan bahwa a^m = H. Diambil sebarang y ∈ H dan karena H merupakan subgrup dari G, maka x ∈ G dan berakibat y =a^k ∈ H untuk suatu k ∈ Z⁺ . Diperhatikan bahwa m ≤ z dan dari algoritma pembagian pada Z diperoleh k = mq+r untuk suatu q, r ∈ Z dan 0 ≤ r < m. Dengan demikian diperoleh:

a^k = a^mq+r = a^mq a^r dan a^r = (a^m)^-q a^z Karena a^m, a^k ∈ H dan H merupakan grup, akibatnya (a^m )^-q ∈ H dan (a^m )^-q a^k ∈ H. Dengan demikian diperoleh (a^r) = (a^m )^-q a^z ∈ H . Karena m merupakan bilangan yang terkecil sehingga a^m ∈ H dan karena 0 ≤ r = H dan dengan kata lain H merupakan grup siklik.

 

Teorema 2 Jumlah pada elemen setiap order dalam grup siklik (Gallian, 2008 : 80)

Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n, angka pada unsur dalam order d dalam sebuah grup siklik pada order n adalah ϕ(d).

 

Teorema 3 (Muchlisah, 2005 : 59)

Setiap grup siklik adalah grup abelian

Bukti

Misalkan (G, ∙) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari G. Sehingga G = {an | n ϵ Z}.

Misalkan G = {a^k|k ϵ Z}

Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y ϵ G.

Ambil sebarang x, y dalam G. Karena x, y dalam G maka

x = a^m dan y = aⁿ

untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga

a^maⁿ = a^m+n

dan

yx = aⁿa^m = a^n+m = a^m+n = a^maⁿ = xy

terbukti G grup abelian.

 

SEMOGA BERMANFAAT ❤☺❤