STRUKTUR ALJABAR - Koset dan Teorema Lagrange

 

Pendefinisian “koset” sangat berkaitan dengan materi “Subgrup Normal dan Grup Faktor”. Definisi koset muncul dalam proses pembentukan Grup Faktor dengan bermodalkan suatu grup dan suatu subgrupnya.

Koset

Suatu jenis kompleks dari suatu grup disebut koset dari suatu subgrup dalam grupnya.

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita definisikan Koset kanan (kiri) dari H.

Definisi    1

Misalkan H suatu subgrup dari grup  G  dan a suatu elemen dari G, maka:

-      Ha = {ha | h ∈ H}  disebut koset kanan dari H dalam G.

-      aH = {ah | h ∈ H} disebut koset kiri dari H dalam G.

Karena H suatu subgrup dari G, maka e ϵ H (e elemen identitas), sehingga He = {he | h ∈ H} dan eH = {eh | h ϵ H} = H. Ini berarti H merupakan suatu koset kanan atau koset kiri dari H. Demikian pula, karena e ϵ H, maka ea ϵ Ha yaitu a ϵ Ha dan ae ϵ aH, yaitu a ϵ aH. Ini berarti aH maupun Ha memuat sekurang-kurangnya satu elemen. Dengan kata lain, tak ada koset kiri atau koset kanan yang merupakan himpunan kosong. Apabila G suatu grup abelian, maka mudah dimengerti bahwa setiap koset kiri dari suatu subgrup merupakan koset kanan dari subgrup itu.

Contoh 1

carilah semua koset dari 4Z ≤ 2Z

di mana Z = {... , -2, -1, 0, 1, 2, ...}

maka 2Z = {... , -4, -2, 0, 2, 4, ... } dan 4Z ={... , -8, -4, 0, 4, 8, ...} karena yang akan dicari adalah 4Z ≤ 2Z maka yang akan jadi grup adalah 2Z dan untuk pencarian koset yang digunakan adalah elemen dari 2Z yaitu {... , -4 ,-2, 0, 2, 4, ...}.
4Z + 0 = {... , -8, -4, 0, 4, 8, ...}
4Z + 2 = {... , -6, -2, 2, 6, 10, ...}
4Z + 4 = {... , -4, 0, 4, 8, ...}
0 + 4Z = {... , -8, -4, 0, 4, 8, ...}
2 + 4Z = {... , -6, -2, 2, 6, 10, ...}
4 + 4Z = {... , -4, 0, 4, 8, ...}

Jadi kosetnya adalah 4Z + 0, 4Z + 2, 0 + 4Z, 2 + 4Z. Hal ini terjadi karena pada koset 0 + 4Z dan 4 + 4Z terjadi pengulangan sehingga dapat dianggap sama, begitu juga pada koset kirinya.

Contoh 2

Andaikan subgrup K = {(1),(1,2)} dari G = S3 = {(1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}. Untuk a = (1, 2, 3) diperoleh

aK = {(1, 2, 3) (1), (1, 2, 3) (1, 2)}

         = {(1,2,3),(1,3)} 

dan

Ka = {(1,2,3),(1,2)(1,2,3)}

        = {(1,2,3),(2,3)}

Dalam kasus ini aK ≠ Ka.

Walaupun koset kiri dari H dan koset kanan dari H mungkin keduannya tidak sama, ini tidak dapat terjadi dengan dua koset kiri dari H. kenyataan ini bersifat dasar untuk pembuktian dari teorema lagrange,jadi kita tunjukkan itu sebagai suatu lemma.

Lemma

Sifat-Sifat dari Koset

Misalkan H adalah subgrup dari G dan misalkan a dan b ∈ G maka

      1.       a ∈ aH

Bukti

a = ae ∈ aH

2.       aH = H jika dan hanya jika a ∈ H

Bukti

Andaikan bahwa aH = H. Maka a = ae ∈ aH. Berikutnya, kita asumsikan bahwa a ∈ H dan tunjukkan bahwa aH ⊂ H dan H ⊂ aH. Pertama secara langsung sertakan sifat tertutup dari H. Untuk menunjukkan bahwa H ⊂ aH, misalkan h ∈ H. Maka, oleh karena a ∈ H dan h ∈ H kita mengetahui bahwa a¯¹h ∈ H. Maka, h = eh = (aa¯¹)h = a(a¯¹h) ∈ aH

3.       aH = bH jika dan hanya jika a ∈ bH

Bukti

Jika aH = bH, maka a = ae ∈ eH = bH. Sebaliknya, jika a ∈ bH kita miliki a = bh dimana h ∈ H, oleh karena itu, aH = (bh)H = b (hH) = bH

4.       aH = bH atau aH ∩ bH = Ø

Bukti

Sifat 4 secara langsung dari sifat 3, jika ada suatu elemen c ∈ aH ∩ bH maka cH = aH dan cH = bH

5.       aH = bH jika dan hanya jika a¯¹b ∈ H

Bukti

Amati bahwa aH = bH jika dan hanya jika H = a¯¹bH. Hasil sekarangmengikuti sifat kedua

6.       aH = Ha jika dan hanya jika H = aHa¯¹

Bukti

Catatan bahwa aH = Ha jika dan hanya jika(aH)a¯¹ = (Ha)a¯¹ = H artinya jika dan hanya jika aHa¯¹ = H

7.       aH adalah subgrup dari G jika dan hanya jika a ∈ H

Bukti

Jika aH adalah subgrup, maka itu berisi identitas  e. Maka aH ∩ eH ≠ Ø, maka dengan sifat 4, kita memiliki aH = eH = H. Maka dari sifat 2 kita miliki a ∈ H maka dengan sifat 2 lagi aH = H.

Lemma 1 Partisi Koset Kiri

Misalkan H suatu subgrup dari grup G. Perbedaan koset kiri dari  H dalam G bentuk suatu partisi dari G; maka elemennya terpisah dari G ke subset yang saling disjoint.

Bukti

Itu cukup untuk menunjukkan bahwa dua koset kiri dari H sehingga tidak disjoint seharusnya koset kiri sama.

Andaikan aH dan bH memiliki satu elemen terkecil , z ∈ aH ∩ bH. Maka z = ah₁ untuk h₁ ∈ H, dan z = bh₂ untuk h₂ ∈ H.hal ini berarti bahwa ah₁ = bh₂ dan a = bh₂h₁¯¹ ∈ H. Sekarang untuk setiap h ∈ H

Ah = bh₃h = bh₄

Dimana h₄ = h₃. Maka aH ∈ bH untuk semua h ∈ H. Pembuktian ini bahwa aH ⊂ bH. Begitu pun suatu argumen ditunjukkan bahwa bH ⊂ aH, maka aH = bH.

Definisi 2

Misalkan H adalah subgrup dari G. Maka banyaknya koset kiri yang berbeda dari H dalam G disebut indeks dari H dalam G dan dinyatakan dengan [G : H].

Dalam pembuktian dalam teorema berikutnya, kita menunjukkan bahwa jika o(G) adalah hingga, maka order dari sebarang grup dari G merupakan pembagi order dari grup G.

Teorema Lagrange

Apabila H subgrup dari grup berhingga G, maka ◦ (H)|◦ (G).

Bukti :

Karena H subgrup dari grup berhingga G, maka H suatu himpunan berhingga pula, karena G berhingga, maka banyaknya koset kanan dari H berhingga pula, misalkan k,katakan koset kanan-koset kanan dari H tersebut adalah Ha1, Ha2, Ha3,...Hak.

Koset kanan – koset kanan ini membentuk partisi dalam G, yaitu G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ ...∪ Hak dan Hai ∩ Haj = Ǿ untuk i ≠ j.

Misal ◦ (H) = n dan telah dibuktikan di atas bahwa  Hai  ∼ Haj    , maka ∀i = 1,2,...,k, ◦ (Hai) = n.Sehingga ◦ (G) = kn atau ◦ (G) = k ◦ (H) .

Jadi ◦ (H)|◦ (G).

Mohon diinformasikan melalui kolom komentar  bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun  atau kesalahan dalam pembahasan materi diatas. Terimakasih❤