Grup dan Ring [Aljabar Linear 2]

 Sebelumnya kita akan membahas mengenai pengertian Ring dan juga grup.

A. Pengertian Ring dan Grup

1. Pengertian Ring

Ring merupakan himpunan tak kosong R yang dilengkapi dua operasi biner + (penjumlahan) dan * (perkalian).

Contoh: 

Himpunan semua fungsi dari R ke R yaitu:

F(R,R) : {f:(R->R)f fungsi}

Untuk sebarang f,g £ F(R,R) didefinisikan f+g dan f*g sebagai berikut:

(f+g)x = f(x)+g(x) dan (f*g)x = f(x) * g(x)

Untuk setiap x £ R.

Dengan menggunakan sifat-sifat kalkulus dapat ditunjukkan bahwa F(R,R) merupakan ring.

2. Pengertian Grup

Grup merupakan suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:

1) Tertutup terhadap operasi *

2) Mempunyai unsur identitas (e) dalam G

3) Mempunyai invers (a') untuk setiap unsur dalam G

4) Memenuhi hukum asosiatif

B. Hubungan Ring dan Grup

Grup dan ring sama-sama merupakan himpunan kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma tertentu.

C. Proses Abstraksi Pada Ring

Proses abstraksi yaitu proses untuk memperoleh inti dari ring. Jelas bahwa definisi ring merupakan abstraksi daei suatu objek beserta sifat-sifatnya terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

Contoh:

Diberikan grup komutatif (G,+). Dibentuk himpunan semua endomorfisma dari G ke G yaitu:

End (G) = {f:G->G | f, homomorfisma grup}

Diketahui bahwa End (G,+) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut dapat didefinisikan operasi komposisi ° pada End (G) berikut: 

(f°g) (x) = f(g(x))

Untuk setiap f£G dapat ditunjukkan bahwa End G,+,° merupakan ring.

D. Subring

Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari ring (R,+,*). Himpunan S disebut subring R jika S juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ring R.

Contoh: 

Tunjukkan bahwa jika A,B subring dari ring R.

Ambil R (Z,+,*)

A = 2Z ={...,-2,0,2,4,...}

B = 3Z ={...,-3,0,3,6,...}

Dapat ditunjukkan bahwa A dan B adalah suatu ring dengan operasi yang sama dengan R karena A C R, B C R.

Maka A dan B merupakan subring dari R.

Demikian penjelasan mengenai Ring dan juga Grup. 

Terikasih sudah berkunjung😊 mohon tinggalkan kritik dan saran yang membangun agar kedepannya Saya dapat membuat tulisan yang lebih baik.