Homomorfisma : Definisi, Soal, dan Pembahasan

Homomorfisma adalah suatu pemetaan dari grup ke grup yang mempertahankan operasi pada grup. Setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang disebut homomorfisma natural. 
Definisi 1
Jika G suatu grup dengan operasi * dan G’ suatu grup dengan operasi # maka pemetaan  f : G → G’ disebut  homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b ϵ G berlaku:

f ( a * b ) = f(a) # f(b)

Definisi diatas juga dapat ditulis f (ab)= f(a) #  f(b), pada ruas kiri menggunakan operasi pada G dan pada ruas kanan menggunakan operasi pada G’.
Definisi 2
Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup f : G → H didefinisikan sebagai Im(f) = f(G) = {f(g)|g ∈ G}. Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada (onto) H.
Definisi 3
Misalkan f : G → H homomorfisma grup. Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai anggota G yang dipetakan oleh f ke anggota identitas dari H yaitu Ker(f) = {x ∈ G|f(x) = e }.

Teorema I
Jika f : G  →  H homomorfisma grup maka Im(f) grup bagian dari H.
Bukti

• Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup.

Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f homomorfisma maka f(ab) = f(a) ∙ f(b) a, b ∈ G sehingga ab ∈ G (sebab G grup). Jadi f(a) ∙ f(b) = f(ab) ∈ G dengan ab ∈ G atau f(G)tertutup.

• Akan dibuktikan bahwa e’ dalam f(G).

Anggota e’ adalah identitas dalam H untuk membedakan dengan e dalam G. Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f). Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) ∙ f(b) = f(eb) = f(b) = e’ f(b). Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan didapat f(e) = e’.

• Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari anggota f(G).

Misalkan f(x) dalam f(G). Anggota f(x^-1) merupakan invers dari f(x) karena f(x) ∙ f(x^-1) = f(xx^-1) = f(e) = e’. Dengan cara yang sama, didapat f(x^-1) ∙ f(x) = e’ dan f(x^-1) invers (yang tunggal) dari f(x) dengan f(x^-1) dalam f(G).

Teorema II
Jika f : G → H homomorfisma grup maka Ker(f) grup bagian dari G.
Bukti :

·        Akan dibuktikan bahwa e dalam Ker(ƒ).

Telah ditunjukkan bahwa f(e) = e’. Akibatnya identitas e dalam G merupakan anggota Ker(f).

·        Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup.
Misalkan x, y dalam Ker(f). Karena x, y dalam Ker(f) maka f(x) = e’ dan f(y) = e’ sehingga (xy) = f(x) ∙ f(y) = e’ ∙ e’ = e’. Oleh karena itu , xy dalam Ker(f).

·        Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) mengandung invers dari anggotanya. Misalkan x dalam Ker(f). Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e¢ sehingga
f(x)                   = e’
f(x) ∙ f(x^-1)        = e’ f(x^-1)
f(x x^-1)              = f(x^-1)
f(e)                  = f(x^-1)
e’                     = f(x^-1)
Berarti f(x^-1) dalam Ker(f).

Teorema III
Misalkan f : G → H homografisma grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku :

·        Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G.

·        Jika G siklik maka f(G) siklik.

·        Jika a G mempunyai orde berhingga maka order dari membagi order a.

·        Jika G abelian maka f(G) abelian.

Misalkan G = (a) = { ak | k ∈ Z }. Akibatnya f(G) = { f(a^k) | k ∈ Z }. Tetapi karena f(a^k) = (f(a)^k  dengan induksi) maka f(G) = { f(a) k | k ∈ Z }. Berarti f(G) dibangun oleh f(a) atau f(G) siklik. Order dari f(a) sama dengan order dari grup bagian siklik f(a). Tetapi pada bagian (2) dalam bukti ini terlihat bahwa f membawa (a) pada ( f(a) ). Pada bagian (1) dalam bukti ini juga menjelaskan bahwa order dari f(a) membagi orde (a). Dengan kata lain, orde dari f(a) membagi orde a. Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G) dengan G abelian. Akibatnya f(a) ∙ f(b) = f(ab) = f(ba) = f(a) ∙ f(b). Berarti f(G) abelian.
 
Teorema IV
Misalkan f : G → H homomorfisma grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G).

Sifat-sifat berikut ini berlaku :

·        Fungsi f injektif jika dan hanya jika Ker(f)={ 0 }

·        Jika f injektif maka G isomorfis dengan f(G).

 

 

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.     Apa perbedaan antara homomorfisme kelompok dan homomorfisme?

Jawab:
Homomorfisme adalah pemetaan antara dua objek aljabar yang mempertahankan operasi pada objek tersebut. Objek bisa berupa grup, cincin, bidang atau beberapa spasi atau aljabar. Sedangkan homomorfisme kelompok adalah homomorfisme di mana objek adalah kelompok.

2.     Membiarkan H menjadi subkelompok G. Tunjukkan bahwa H di G adalah subgrup normal dari NG(H). Tunjukkan juga bahwa homomorfisme c : G → Aut( G ) diberikan  konjugasi untuk menginduksi homomorfisme injeksi N_G(H) /C_G(H) → Aut(H).

Jawab:
ϕ : G → Aut(G),            ϕ(x) : = I_x
dimana kita mendefinisikan
 I_x(g) = xgx⁻¹, ∀ g ∈ G
(1) Tunjukkan peta di atas adalah homomorfisme

(2) Temukan kernel peta di atas

(3) Terapkan teorema isomorfisme pertama, dengan mempertimbangkan ϕ(G) : = Inn(G) ≤  Aut(G).

3.     Membiarkan ϕ menjadi homomorfisme dari suatu kelompok G ke grup G′. Buktikan jika G terbatas dan G′ juga terbatas serta |G′| membagi |G|.

Jawab:
Apa yang kita ketahui tentang teorema homomorfisme, adalah jika ϕ : G → G′ homomorfisme, lalu jika G terbatas, maka 

Dalam kasus ini, sebagai ϕ adalah dugaan, kita punya 

Sekarang, karena grup di atas memiliki ukuran yang sama, |G| = |G′| × |ker ϕ|. Oleh karena itu, hasilnya adalah bilangan asli.

4.     Jika G adalah suatu kelompok dan H adalah subkelompok dari G, apakah ada f: G → H sedemikian rupa sehingga f adalah dugaan homomorfisme kelompok?

Jawab:
Dengan teorema isomorfisme pertama, diberi homomorfisme dugaan φ : G → H. Jika G/ker(φ) ≅ H. Kernel harus normal, dan tidak semua grup memiliki subgrup normal dari urutan yang diperlukan. Secara khusus, contoh mudah adalah grup sederhana non-siklik G dan subkelompok yang layak nontrivial H.

5.     Seandainya G₁ dan G₂ adalah kelompok dan ada homomorfisme yang unik f : G₁ → G₂ dan homomorfisme yang unik h : G₂ → G₁. Akankah benar kalau begitu G1 dan G2 kembali isomorfik?

Jawab:

Tidak. Ada homomorfisme unik dari kelompok biasa ke kelompok mana pun. Faktanya, dua kelompok isomorfik berorde lebih besar dari 2 memiliki lebih dari satu isomorfisme di antara mereka, karena kelompok tersebut memiliki automorfisme nontrivial. 
Faktanya, karena kita selalu memiliki homomorfisme sepele yang berjalan di setiap arah, maka ada homomorfisme unik G1 → G2 dan G2 → G1 jika dan hanya jika G1 tidak memiliki pertanyaan non-trivial isomorfik ke subkelompok G2, dan sebaliknya. 

Contohnya adalah: 
1) G1 dan G2 memiliki perintah coprime. 

2) G1 dan G2 adalah kelompok sederhana non-isomorfik

6.     Membiarkan G, H menjadi kelompok dan biarkan L menjadi subkelompok ke H. Tunjukkan jika h : G → H adalah homomorfisme K= { x ∈ G|h(x) ∈ L } adalah subkelompok ke G.

Jawab:
Sejak f adalah homomorfisme, f(e_G) = e_H ∈ L. Karena itu, e_G ∈ K.
Jika k₁, k₂ ∈ K, kemudian f(k₁k₂) = f(k₁) f(k₂) ∈ L. Karena itu, k₁, k₂ ∈ K.
Akhirnya, jika k ∈ K, kemudian f(k) f(k^-1) = f(kk^-1) = f(e_G) =e_H dan oleh karena itu f(k^-1) = f(k)^-1 ∈ L. Jadi,k^-1 ∈ K.

7.     f adalah homomorfisme dari hingga. Tunjukkan bahwa untuk setiap elemen :{ G , ∗ }{ H, ∘ } a ∈ G {g ∈ G | f(g) = f(a)} = a ∗ ker(f).

Jawab:
f(g) = f(a) ⟹ f(a⁻¹ ∗ g) = e_H ⟹ a⁻¹ ∗ g ∈ ker(f) ⟹ g ∈ a ∗ ker(f) 
g ∈ a ∗ ker(f) ⟹ f(g) = f(a) ⋄ e_H = f(a).

Demikianlah penjelasan mengenai homomorfisma beserta contoh soal dan pembahasannya. Jika ada kesalahan mohon kritik dan saran nya di kolom komentar. Terimakasih, Semoga bermanfaat☺