TUGAS FORMATIF

 

Penyelesaian:

a.       Merupakan operasi biner

·         Himpunan Z merupakan himpunan tak kosong

Z = { ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Karena 0 ϵ Z  maka Z ≠ Ø

·         Bersifat tidak tertutup

Untuk setiap a, b ϵ Z → a + 1/b Ɇ Z

Karena

a ϵ Z

1/b  Ɇ Z

Misal, a = 2, b = 3  maka 2 + 1/3 = 7/3 Ɇ Z.

Jadi dapat disimpulkan bahwa operasi ° pada Z bukan merupakan operasi biner.

b.      Bersifat asosiatif

Sifat asosiatif : (a ° b) ° c = a ° (b ° c)  a, b, c ϵ Z.

1)      (a ° b) ° c   = (a + 1/b) ° c

= (a + 1/b) + c

= a + 1/b + c

2)      a ° (b ° c)   = a ° (1/b + c)

= a + (1/b + c)

= a + 1/b + c

Misal a = 1, b = 2, c = 3 maka

(a + 1/b) + c     = a + (1/b + c)

(1 + ½) + 3      = 1 + (1/2 + 3)

9/2                   = 9/2

Jadi operasi ° terbukti memenuhi sifat asosiatif.

c.       Mempunyai elemen identitas

a ϵ Z maka a ° e = e ° a = a

1)      a ° e           = a + 1/e = a  

                     

                        e         = 

                       e          = 1

2)      e ° a           =  1/e + a = a   

                         

                     

                     e = 1

Jadi operasi ° pada Z memiliki elemen identitas yaitu 1.

d.      setiap elemen di Z mempunyai identitas

a ϵ Z maka a ° a¯¹ = a¯¹ ° a = e

1)      a ° a¯¹         = e

a + (1/a)¯¹    = 1

a¯¹                = a – 1

2)      a¯¹ ° a         = e

(1/a)¯¹ + a    = 1

a¯¹                = a - 1

Jadi  a ° a¯¹ = a¯¹ ° a = e yaitu a¯¹ = a – 1

e.       bersifat komutatif

sifat komutatif a ° b = b ° a, a, b ϵ Z.

1)      a ° b = a + 1/b

2)      b ° a = b + 1/a

misal, a =1, b = 2 maka

1)      a ° b = 1 + ½ = 3/2

2)      b ° a = 2 + 1/1 = 2

Jadi operasi ° tidak memenuhi sifat komutatif.

Penyelesaian:

a.       Merupakan operasi biner

·         Himpunan Z merupakan himpunan tak kosong

Z = { ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Karena 0 ϵ Z maka Z ≠ Ø

·         Bersifat tertutup

Untuk setiap a, b ϵ Z → a + 2b ϵ Z

Karena a ϵ Z dan b ϵ Z

Misal a = 3, b = 2 maka

a + 2b = 3 + 2(2) = 7 ϵ Z

Jadi operasi ° pada Z merupakan operasi biner.

b.      Bersifat asosiatif

Sifat asosiatif : (a ° b) ° c = a ° (b ° c)  a, b, c ϵ Z.

                        1)      (a ° b) ° c = (a + 2b) ° c

                       = a + 2b + c

2)      a ° (b ° c)  = a ° (b + 2c)

                        = a + (b + 2c)

Jadi operasi ° pada Z bukan bersifat asosiatif.

c.       Mempunyai elemen identitas

a ϵ Z maka a ° e = e ° a = a

                        1)      a ° e     = a + 2e = a

           2e = a – a

            e = 0/2

            e = 0

2) e ° a     =  2e + a = a

            2e = 0

             e = 0/2

            e = 0

jadi operasi ° pada Z memiliki elemen identitas yaitu 0.

d.      setiap elemen di Z memiliki elemen identitas

a ϵ Z maka a ° a¯¹ = a¯¹ ° a = e

        1)      a ° a¯¹            = e

            a + (2a)¯¹         = 0

            a¯¹                     = a/2

        2)      a¯¹ ° a             = e

            (2a)¯¹ + a           = 0

            a¯¹                     = a/2

Jadi a ° a¯¹ = a¯¹ ° a = e yaitu a¯¹ = a/2

e.       Bersifat komutatif

Sifat komutatif a ° b = b ° a, a, b ϵ Z.

        1)      a ° b = a + 2b

        2)      b ° a = b + 2a

misal, a = 2, b = 3.

        1)      a ° b = 2 + 2 (3) = 8

        2)      b ° a = 3 + 2 (2) = 7

Jadi operasi ° pada Z bukan bersifat komutatif.

Penyelesaian:

a.       Merupakan operasi biner

        

Himpunan matriks M, dengan setiap elemennya bilangan rasional .

Ambil sembarang M₁, M₂ ∊ M

Jadi untuk setiap M₁, M₂ ∊ M, ada M = M₁ x M₂ ∊ M atau tertutup terhadap operasi perkalian ( merupakan operasi biner ).

b.  Bersifat asosiatif

Jadi operasi tersebut bukan besifat asosiatif.

c. Bersifat komutatif 

Jadi operasi tersebut tidak besifat komutatif

d. Mempunyai elemen identitas 

M x e = e x M = M

Misalkan elemenya e = ɵ maka :

Setiap elemen matriks M adalaah bilangan rasional yang mempunyai invers sehingga dapat ditulis sbb :

SEMOGA BERMANFAAT ☺☺☺☺