FUNGSI MATEMATIKA

Salah satu hal yang dipelajari pada matematika adalah fungsi. Pada dasarnya fungsi merupakan suatu relasi yang memetakan setiap anggota sebuah himpunan yang disebut sebagai daera asal atau domain ke tepat satu anggota himpunan lain yang disebut daerah kawan (kodomain). Pada artikel sebelumnya saya telah membahas sedikit mengenai himpunan. Berikut ini jenis-jenis fungsi:

Jenis - Jenis Fungsi

1. Fungsi Identitas

Dalam matematika, fungsi identitas, disebut juga relasi identitas, pemetaan identitas atau transformasi identitas, adalah fungsi yang selalu menghasilkan nilai yang sama dengan yang diberikan atau dimasukkan. Agar f menjadi fungsi identitas, persamaan f(x) = x harus terpenuhi semua x.

Defenisi

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.

Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang fungsi identitas berikut contoh dari fungsi identitas.

Contoh Fungsi Identitas

Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).
b. Gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:
a. Nilai f(–2), f(-1), f(1), dan f(3).
f(x) = x
f(–2) = –2
f(-1) = –1
f(1) = 1
f(3) = 3

                      

2. Fungsi Surjektif

Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B maka f disebut Fungsi surjektif jika setiap unsur B di kodomain maka selalu terdapat unsur dalam A.

Defenisi :

Misalkan A dan B adalah himpunan, dan f adalah fungsi dari A ke B. Fungsi f disebut fungsi pada jika R(f) = B. Jadi, f : A→B disebut fungsi pada jika untuk masing-masing y ∈ B dan x ∈ A sehingga f (x) = y . Fungsi surjektif sering disebut juga dengan fungsi pada atau fungsi onto. Jika f fungsi surjektif, maka f disebut surjeksi (Bartle danSherbert, 2000:8).

Pemetaan (fungsi) f : A   B dikatakan  Surjektif, jika untuk setiap unsur y   B terdapat unsur x   A yang memenuhi f(x) = y. 

Suatu fungsi/pemetaan f disebut pemetaan onto/kepada (surjektif) bila dan hanya bila ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A ∋ f(x) = y

Ciri khusus dari Fungsi surjektif adalah Rf = B atau Kodomain sama dengan Daerah Hasil. Perhatikan gambar diagram pemetaan dibawah ini :

Keterangan :

Gambar diagram pemetaan pertama atau sebelah kiri merupakan fungsi surjektif karena setiap anggota di kodomain terdapat pasangan di domain.

Untuk gambar diagram pemetaan kedua, bukan merupakan fungsi surjektif karena terdapat anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan di domain.

Contoh 1

Misalkan A = {x : -1 <  x <  1, x  }

y⅓ = x

f : A →  A, dengan f(x) := x²,

untuk mengecek apakah f(x) merupakan Fungsi surjektif atau bukan, pertama kita harus menerka / menebak, jika fungsi tersebut bukan merupakan Fungsi surjektif, kita bisa memberikan contoh yang tidak memenuhi Definisi Fungsi surjektif.

Misal kita ambil x = -1, 0 dan 1

f(-1) = (-1)² = 1

f(0) = (0)² = 0

f(1) = (1)² = 1

Karena terdapat anggota kodomain yaitu f(x) = -1 yang tidak memiliki kawan di domain, sehingga f bukan Fungsi surjektif.

Contoh 2

g : A  → A, dengan g(x) = x³

ambil y  → A (kodomain) sebarang dan g(x) = y, berakibat

y = x³

sehingga terdapat x = y⅓  →  A (domain). Berdasarkan Definisi maka fungsi g(x) merupakan Fungsi surjektif.

Atau kita juga bisa dengan cara mendaftarkan terlebih dahulu pemetaannya :

g(-1) = (-1)³ = -1

g(0) = (0)³ = 0

g(1) = (1)³ = 1

Rf = {-1, 0, 1}

Karena Rf = B, maka g(x) merupakan Fungsi surjektif.

3. Fungsi injektif

Fungsi injektif adalah fungsi satu-satu yaitu untuk x₁ ≠ x₂ maka f(x₁) ≠ f(x₂).

Defenisi

Fungsi f : A => B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu apabila anggota yang berbeda di B memiliki pasangan atau kawan yang berbeda di A. hal ini berarti jika anggota yang berbeda di A tidak boleh memiliki pasangan yang sama di B.

Contoh 1

Dari gambar diatas tanda panah tersebut berfungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c)} diperlihatkan pada gambar (a)tersebut, nampak bahwa f(1) = a, f(2)=b dan f(3)=c, ini berarti bahwa untuk setiap anggota dalam himpunan A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di himpunan B. suatu fungsi f : A → B dengan setiap anggota A yang berbeda memiliki peta yang berbeda di B seperti gambar diatas disebut fungsi injektif.

Contoh 2

Manakah dari diagram berikut ini yang menunjukkan fungsi injeksi

Fungsi f: A → B disebut fungsi injeksi jika setiap elemen B memiliki pasangan elemen tepat A. berdasarkan konsep ini, dapat disimpulkan bahwa hanya angka diagram panah (4) yang merupakan fungsi injeksi

4. Fungsi Bijektif (1-1 dan onto)

Fungsi bijektif adalah fungsi yang injektif sekaligus surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota kodomain mempunyai tepat satu prapeta pada domain.

Definisi :

Pemetaan (fungsi) f : A → B dikatakan bijektif jika f adalah Fungsi Satu-Satu dan Fungsi Pada.

Fungsi Bijektif  akan terjadi jika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain. Dengan catatan bahwa tidak ada dua domain berbeda atau lebih dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di domain.

Perhatikan diagram pemetaan dibawah ini.

Keterangan :

Pemetaan pertama merupakan Fungsi Bijeksi karena sudah sesuai dengan Difinisi.

Pemetaan kedua bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi Pada. Perhatikan “d” dan “e” di domain, kedua anggota domain tersebut dipetakan ke anggota domain yang sama (lihat Definisi Fungsi Satu-Satu)

Pemetaan ketiga bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi Satu-Satu. Karena terdapat anggota kodomain yaitu “9” yang tidak memiliki pasangan pada anggota domain.

Contoh

Apakah pasangan berurutan ini F ={(1,a), (2,b), (3, c), (4, d)} merupakan jenis fungsi  bijektif dengan domain Df = {1, 2, 3, 4} dan kodomain Kf = {a, b, c, d}

 Jawabannya :

F = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} , dengan Df = {1, 2, 3, 4} dan Kf = {a, b, c, d} Jika pasangan berurutan digambar dalam diagram panah , maka:

 

Syarat f sebagai fungsi sudah terpenuhi, karena f Memetakkan setiap anggota Df ke tepat satu anggota Kf.

Karena Range f sama dengan kodomain f ( Rf = Kf ) maka f fungsi onto atau subjektif. Karena setiap anggota Kf tepat berpasangan dengan satu anggota Df maka f merupakan fungsi injektif. Dalam hal ini f = {(1, b), (2, b), (3, b), (4, b)} merupakan fungsi subjektif dan injektif Atau bisa disebut juga fungsi bijektif.

5. Fungsi Invers

Fungsi invers atau fungsi kebalikan merupakan suatu fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Fungsi invers adalah fungsi dengan kodomain sebagai masukan dan domain sebagai hasil masukan. Biasanya fungsi memiliki domain dan kodomain atau asal dan daerah hasil dengan arah nya adalah domain ke kodomain. Kalo dalam fungsi invers berbeda. Arah gerak hasilnya adalah kodomain menuju domain. Penulisan simbol pada fungsi invers dapat dinyatakan sebagai berikut:

(f¯¹)

Ada 3 langkah untuk menentukan fungsi invers, yaitu:

1. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

2. Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).

3. Ubahlah variabel y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f-1(x).

Dalam fungsi invers terdapat rumus khusus seperti berikut:

Contoh

Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi f(x) = 2x + 6.

Pembahasan:

demikianlah penjelasan mengenai jenis-jenis fungsi pada matematika.